【复合函数求导公式什么】在微积分中，复合函数的求导是基本且重要的内容。复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。对于这种结构的函数，我们需要使用链式法则（Chain Rule）来进行求导。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入所形成的函数。例如：
- 若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 是一个复合函数。
- 求导时，我们首先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
二、复合函数求导公式
根据链式法则，复合函数的导数公式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
外层函数对中间变量的导数 × 中间变量对自变量的导数
三、常见复合函数求导公式总结
以下是一些常见的复合函数及其对应的求导公式：
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，应用链式法则 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正切函数的导数 |
四、实际应用举例
例1：
设 $ y = (3x^2 + 1)^4 $，求 $ y' $
解：
令 $ u = 3x^2 + 1 $，则 $ y = u^4 $
$ \frac{dy}{du} = 4u^3 $，$ \frac{du}{dx} = 6x $
所以，
$$
y' = 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3
$$
五、总结
复合函数的求导是微积分中的基础内容，掌握链式法则可以帮助我们快速解决复杂的导数问题。通过理解外层与内层函数的关系，并熟练运用导数公式，可以有效提高解题效率和准确性。
如需进一步学习多层复合函数的导数（如三重复合），可继续使用链式法则逐层展开。