问arctanx的不定积分

【arctanx的不定积分】在微积分的学习中，求函数的不定积分是一个重要的内容。对于反三角函数中的 arctanx（即反正切函数），其不定积分可以通过分部积分法进行推导。下面将对 arctanx 的不定积分进行总结，并以表格形式展示关键步骤与结果。

一、不定积分的基本概念

不定积分是指一个函数的原函数，即如果 $ F'(x) = f(x) $，那么 $ \int f(x) \, dx = F(x) + C $，其中 $ C $ 是积分常数。

二、arctanx 的不定积分推导过程

我们要求的是：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

使用分部积分法，设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

接下来计算右边的积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x \, dx $，即 $ x \, dx = \frac{dt}{2} $，代入后得：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终得到：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、总结表格

四、结论

通过分部积分法，我们可以得出 arctanx 的不定积分为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

该结果可用于解决相关数学问题，如求面积、解微分方程等。理解这一推导过程有助于加深对积分方法和反三角函数性质的理解。