【arctanx】在数学中，arctanx 是一个重要的反三角函数，用于求解正切值为 x 的角度。它在微积分、物理和工程等领域有广泛应用。以下是对 arctanx 的总结与相关性质的整理。
一、arctanx 的基本定义
arctanx 表示的是正切值等于 x 的角度，即：
$$
y = \arctan(x) \quad \text{当且仅当} \quad \tan(y) = x \quad \text{且} \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}
$$
- 定义域：所有实数 $ x \in \mathbb{R} $
- 值域：$ y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $
二、arctanx 的图像特征
| 特征 | 描述 |
| 图像形状 | 单调递增曲线 |
| 渐近线 | 当 $ x \to \pm\infty $ 时，$ y \to \pm\frac{\pi}{2} $ |
| 对称性 | 奇函数：$ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ |
| 零点 | $ \arctan(0) = 0 $ |
三、arctanx 的导数与积分
| 公式 | 表达式 |
| 导数 | $ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 不定积分 | $ \int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
四、常见数值举例
| x | arctan(x)（弧度） | arctan(x)（角度） |
| 0 | 0 | 0° |
| 1 | π/4 ≈ 0.785 | 45° |
| √3 | π/3 ≈ 1.047 | 60° |
| 1/√3 | π/6 ≈ 0.524 | 30° |
五、arctanx 的应用
- 几何学：计算斜边与直角边之间的夹角。
- 信号处理：用于相位计算。
- 物理学：分析力的分解或运动方向。
- 计算机图形学：用于旋转矩阵和坐标变换。
总结
arctanx 是一个基础但重要的数学函数，具有良好的单调性和对称性，广泛应用于多个科学领域。理解其定义、图像、导数和积分有助于更好地掌握其在实际问题中的应用。