【怎样判断复合函数单调性】在数学中，复合函数的单调性是分析函数性质的重要内容之一。判断复合函数的单调性，需要结合内层函数和外层函数的单调性，并考虑它们之间的组合方式。以下是对如何判断复合函数单调性的总结。
一、基本概念
- 复合函数：设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则复合函数为 $ y = f(g(x)) $。
- 单调性：若在区间上，随着自变量增大，函数值也增大，则称为增函数；反之则为减函数。
二、判断方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定复合函数的结构，明确内外函数分别是什么。例如：$ y = f(g(x)) $ 中，$ f $ 是外函数，$ g $ 是内函数。 |
| 2 | 分析内函数 $ g(x) $ 的单调性，确定其在定义域内的增减情况。 |
| 3 | 分析外函数 $ f(u) $ 的单调性，同样确定其在定义域内的增减情况。 |
| 4 | 根据内外函数的单调性进行组合判断： - 若内函数与外函数同为增函数或同为减函数，则复合函数为增函数。 - 若内函数与外函数一增一减，则复合函数为减函数。 |
| 5 | 注意定义域的限制，确保复合函数在定义域内有实际意义。 |
三、实例分析
| 复合函数 | 内函数 | 外函数 | 单调性判断 | 结论 |
| $ y = \sqrt{x^2} $ | $ u = x^2 $ | $ y = \sqrt{u} $ | 内函数在 $ x > 0 $ 时为增，在 $ x < 0 $ 时为减；外函数为增 | 整体在 $ x > 0 $ 时为增，在 $ x < 0 $ 时为减 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ u = 2x $ | $ y = \sin(u) $ | 内函数为增；外函数在 $ (0, \pi/2) $ 为增，在 $ (\pi/2, \pi) $ 为减 | 整体在 $ (0, \pi/4) $ 为增，在 $ (\pi/4, \pi/2) $ 为减 |
| $ y = e^{-x} $ | $ u = -x $ | $ y = e^u $ | 内函数为减；外函数为增 | 整体为减函数 |
四、注意事项
- 在判断过程中，要特别注意函数的定义域和值域是否匹配。
- 对于某些特殊函数（如三角函数、指数函数等），需结合其图像和周期性进行综合判断。
- 当函数存在多个单调区间时，应分别讨论每个区间的单调性。
通过以上步骤和方法，可以系统地判断复合函数的单调性。理解这一过程有助于更深入地掌握函数的变化规律，为后续的极值分析、导数应用等打下坚实基础。