【二次型的规范型与特征值的关系】在数学中，二次型是一个关于变量的二次齐次多项式，广泛应用于线性代数、优化理论和几何分析等领域。二次型的性质可以通过其规范型来体现，而规范型的确定又与其对应的矩阵的特征值密切相关。本文将从基本概念出发，总结二次型的规范型与特征值之间的关系，并通过表格形式进行对比说明。
一、基本概念
1. 二次型：
二次型是指形如 $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j $ 的函数，其中 $ a_{ij} $ 是实数，且 $ a_{ij} = a_{ji} $。通常可以表示为 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ A $ 是对称矩阵，$ \mathbf{x} $ 是列向量。
2. 规范型：
规范型是二次型在正交变换下的最简形式，即只包含平方项，没有交叉项的形式。例如，对于一个二次型，其规范型可能为 $ y_1^2 + y_2^2 - y_3^2 $，其中系数为 ±1 或 0。
3. 特征值：
对于对称矩阵 $ A $，其特征值是满足 $ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ 的标量 $ \lambda $，其中 $ \mathbf{v} $ 是非零向量。特征值决定了矩阵的性质，如正定、负定或不定等。
二、规范型与特征值的关系
二次型的规范型是由其对应矩阵的特征值决定的。具体来说：
- 如果二次型的矩阵 $ A $ 的所有特征值均为正，则该二次型为正定，其规范型为若干个正平方项。
- 如果所有特征值均为负，则为负定，规范型为若干个负平方项。
- 如果既有正也有负的特征值，则为不定，规范型中既有正项也有负项。
- 若有零特征值，则规范型中会出现零项。
因此，规范型实际上反映了二次型在正交变换下所具有的“符号”结构，而这一结构完全由特征值的符号决定。
三、总结与对比
| 项目 | 说明 |
| 二次型 | 形如 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ A $ 是对称矩阵 |
| 特征值 | 矩阵 $ A $ 的特征值决定二次型的正定性、负定性及不定性 |
| 规范型 | 二次型在正交变换下的最简形式，仅含平方项，无交叉项 |
| 关系 | 规范型中的正负号由特征值的符号决定；特征值的个数决定规范型中项的数量 |
| 正定性 | 所有特征值为正 → 规范型为正平方项之和 |
| 负定性 | 所有特征值为负 → 规范型为负平方项之和 |
| 不定性 | 有正有负特征值 → 规范型中有正负项 |
| 零特征值 | 有零特征值 → 规范型中出现零项 |
四、结论
二次型的规范型是其在正交变换下的简化形式，而这一形式的确定依赖于其对应矩阵的特征值。特征值不仅决定了二次型的正定性，还直接决定了规范型中各项的符号。因此，在研究二次型时，分析其特征值是理解其几何意义和代数性质的关键步骤。