【分式的导数】在微积分中，分式的导数是求函数在某一点处的瞬时变化率。对于由两个函数相除形成的分式函数，其导数可以通过“商法则”来计算。掌握分式的导数有助于我们更深入地理解函数的变化规律，并为后续的极值分析、曲线绘制等提供基础。
一、分式的导数定义
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式称为商法则，用于计算两个可导函数之商的导数。
二、分式的导数计算步骤
1. 确定分子和分母函数：将给定的分式函数拆分为 $ u(x) $（分子）和 $ v(x) $（分母）。
2. 分别求导：对 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 分别求导，得到 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $。
3. 代入商法则公式：将求得的导数代入公式进行计算。
4. 化简结果：对最终表达式进行简化，使其更易读或便于进一步应用。
三、常见分式导数示例
| 函数 | 分子 $ u(x) $ | 分母 $ v(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ x $ | $ x + 1 $ | $ \frac{(1)(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} $ |
| $ \frac{x^2}{\sin x} $ | $ x^2 $ | $ \sin x $ | $ \frac{2x \sin x - x^2 \cos x}{\sin^2 x} $ |
| $ \frac{\ln x}{x} $ | $ \ln x $ | $ x $ | $ \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $ |
| $ \frac{e^x}{x^2} $ | $ e^x $ | $ x^2 $ | $ \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x (x^2 - 2x)}{x^4} $ |
四、注意事项
- 分母不能为零：在计算过程中，必须确保分母 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
- 注意符号：商法则中的减号容易出错，需特别留意。
- 化简技巧：有时导数结果可以进一步因式分解或约简，以提升清晰度。
五、总结
分式的导数是微积分中的重要概念，尤其在处理复合函数和复杂函数时具有广泛应用。通过掌握商法则，我们可以系统性地计算各种形式的分式函数的导数。实际应用中，需要注意分母非零、符号正确以及结果的合理化简。
如需进一步学习导数的应用，可参考相关教材或结合具体实例进行练习。