【分布函数怎么求】在概率论与数理统计中，分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是一个非常重要的概念，它描述了随机变量小于或等于某个值的概率。掌握如何求分布函数，对于理解随机变量的性质和进行概率计算具有重要意义。
一、分布函数的定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其分布函数 $ F(x) $ 定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
其中，$ x $ 是任意实数。
分布函数具有以下基本性质：
| 性质 | 描述 |
| 单调性 | $ F(x) $ 是非递减函数 |
| 极限性 | $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$ |
| 右连续性 | $ F(x) $ 在每一点右连续 |
二、求分布函数的方法总结
根据随机变量的类型（离散型或连续型），求分布函数的方法略有不同。
1. 离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量 $ X $，其分布律为：
$$
P(X = x_i) = p_i \quad (i = 1,2,\ldots)
$$
则分布函数 $ F(x) $ 的计算方法如下：
- 对于任意实数 $ x $，将所有满足 $ x_i \leq x $ 的概率 $ p_i $ 相加。
例如，若 $ X $ 的分布列为：
| $ x_i $ | 1 | 2 | 3 |
| $ p_i $ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
则分布函数为：
| $ x $ | $ F(x) $ |
| $ x < 1 $ | 0 |
| $ 1 \leq x < 2 $ | 0.2 |
| $ 2 \leq x < 3 $ | 0.7 |
| $ x \geq 3 $ | 1 |
2. 连续型随机变量的分布函数
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则分布函数为：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
例如，若 $ X \sim N(0,1) $，即标准正态分布，则：
$$
F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt
$$
该积分无法用初等函数表示，通常通过查表或使用数值方法计算。
三、常见分布的分布函数
以下是几种常见分布的分布函数形式：
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 分布函数 $ F(x) $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \lambda e^{-\lambda x} $（$ x > 0 $） | $ 1 - e^{-\lambda x} $（$ x > 0 $） |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{1}{b-a} $（$ a \leq x \leq b $） | $ \frac{x - a}{b - a} $（$ a \leq x \leq b $） |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | 累积概率 $ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ |
四、总结
| 类型 | 求法 | 特点 |
| 离散型 | 累加小于等于 $ x $ 的概率 | 阶梯函数 |
| 连续型 | 积分概率密度函数 | 连续且单调递增 |
掌握分布函数的求法，有助于进一步分析随机变量的特性，如期望、方差、分位数等。在实际应用中，可以借助统计软件（如 R、Python、MATLAB）快速计算分布函数的值。
如需更深入的理解或具体例子，请参考教材《概率论与数理统计》或相关课程资料。