【分部积分法顺序口诀】在微积分的学习中，分部积分法是一种非常重要的求解不定积分的方法，尤其适用于被积函数为两个不同类型的函数相乘的情况。掌握分部积分法的关键在于正确选择“u”和“dv”，而“顺序口诀”则可以帮助我们快速判断哪一部分作为u，哪一部分作为dv。
为了方便记忆和应用，许多学习者总结出了一些实用的“分部积分法顺序口诀”，帮助我们在实际运算中更高效地进行选择。以下是对这些口诀的总结与分析。
一、常见分部积分法顺序口诀
| 口诀名称 | 内容 | 适用情况 |
| ILATE | I（反三角函数）、L（对数函数）、A（代数函数）、T（三角函数）、E（指数函数） | 适用于大多数常见函数组合，优先选择靠前的函数作为u |
| LIATE | L（对数函数）、I（反三角函数）、A（代数函数）、T（三角函数）、E（指数函数） | 与ILATE类似，但将对数函数放在前面，适用于某些特殊场景 |
| ALOHA | A（代数函数）、L（对数函数）、O（其他函数）、H（高阶函数）、A（代数函数） | 更灵活，适用于复杂或混合函数组合 |
| TABULAR | 通过列表方式列出u和dv的导数与积分，适用于多次分部积分 | 适用于多项式与指数函数、三角函数等的组合 |
二、各口诀的使用说明与示例
1. ILATE 口诀
- 适用场景：当被积函数包含反三角函数、对数函数、多项式、三角函数、指数函数时。
- 使用原则：按照I→L→A→T→E的顺序，选择靠前的函数作为u，剩下的作为dv。
- 示例：
- ∫x·sin(x) dx → A（多项式）选为u，T（三角函数）选为dv
- ∫ln(x)·e^x dx → L（对数）选为u，E（指数）选为dv
2. LIATE 口诀
- 适用场景：当被积函数中对数函数较重要时。
- 使用原则：L→I→A→T→E的顺序，对数函数优先作为u。
- 示例：
- ∫x·ln(x) dx → L（对数）选为u，A（多项式）选为dv
3. ALOHA 口诀
- 适用场景：当被积函数较为复杂，无法明确归类时。
- 使用原则：A（多项式）优先作为u，然后依次考虑L、O、H、A。
- 示例：
- ∫x²·cos(x) dx → A（多项式）选为u，T（三角函数）选为dv
4. TABULAR 方法
- 适用场景：需要多次分部积分的情况，如多项式与指数函数的组合。
- 使用原则：列出u的导数和dv的积分，交叉相乘后加减。
- 示例：
- ∫x²·e^x dx
- 结果为：x²·e^x - 2x·e^x + 2·e^x + C
三、总结
| 口诀 | 优点 | 缺点 | 适用范围 |
| ILATE | 简单易记，适用广泛 | 对特殊函数可能不够精准 | 多数常规积分问题 |
| LIATE | 对对数函数处理更优 | 比ILATE稍复杂 | 含对数函数的积分 |
| ALOHA | 灵活，适应性强 | 记忆难度较高 | 复杂或混合函数 |
| TABULAR | 适合多次分部积分 | 需要较多计算步骤 | 多项式与指数/三角函数 |
通过掌握这些“分部积分法顺序口诀”，可以显著提高解题效率，并减少因选择不当导致的错误。建议在实际练习中结合具体题目灵活运用，逐步形成自己的判断习惯。