【不定积分24个基本公式】在微积分的学习中，不定积分是基础且重要的内容之一。掌握一些基本的不定积分公式，不仅可以帮助我们快速求解简单的积分问题，还能为后续学习更复杂的积分方法打下坚实的基础。以下是常见的24个基本不定积分公式，以加表格的形式进行展示。
一、基本不定积分公式总结
1. 常数函数的积分
积分结果为常数乘以变量。
2. 幂函数的积分
对于 $ x^n $，当 $ n \neq -1 $ 时，积分结果为 $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $。
3. 指数函数的积分
$ e^x $ 的积分仍然是 $ e^x + C $；对于 $ a^x $，积分结果为 $ \frac{a^x}{\ln a} + C $。
4. 三角函数的积分
包括正弦、余弦、正切等函数的积分，结果通常与原函数互为导数或负值。
5. 反三角函数的积分
如反正弦、反余弦、反正切等，其积分形式较为特殊，需注意定义域和符号。
6. 有理函数的积分
包括多项式函数和分式函数的积分，可能需要使用分式分解等技巧。
7. 无理函数的积分
如根号内的多项式，可能需要换元法或配方处理。
8. 对数函数的积分
$ \ln x $ 的积分结果为 $ x \ln x - x + C $。
二、24个基本不定积分公式表
| 序号 | 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| 1 | $ 1 $ | $ x + C $ | ||
| 2 | $ x $ | $ \frac{x^2}{2} + C $ | ||
| 3 | $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| 4 | $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| 5 | $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| 6 | $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| 7 | $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| 8 | $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| 9 | $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| 10 | $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| 11 | $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| 12 | $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| 13 | $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| 14 | $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| 15 | $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | ||
| 16 | $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| 17 | $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| 18 | $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ |
| 19 | $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C $ | ||
| 20 | $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| 21 | $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C $ |
| 22 | $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| 23 | $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ | ||
| 24 | $ \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \frac{1}{a} \arcsec \left( \frac{ | x | }{a} \right) + C $ |
三、结语
以上24个基本不定积分公式是学习微积分过程中不可或缺的基础知识。它们不仅适用于初学者快速入门，也为后续学习积分技巧（如换元积分、分部积分、有理函数分解等）提供了坚实的理论支撑。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解与应用能力。