【除数求导运算法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于多个函数的组合运算，如加法、减法、乘法和除法，都有相应的求导法则。其中，“除数求导运算法则”指的是对两个函数相除后的结果进行求导时所遵循的规则。该法则也常被称为“商法则”。
一、基本概念
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，那么 $ f(x) $ 的导数可以用以下公式计算：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式就是“除数求导运算法则”，也称为“商法则”。
二、说明
1. 适用范围：适用于两个可导函数的商的求导。
2. 公式结构：分子为“分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数”，分母为原分母的平方。
3. 注意事项：
- 分母不能为零；
- 必须分别对分子和分母求导；
- 结果可能需要进一步化简。
三、表格对比（常见求导法则）
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ (u + v)' = u' + v' $ | 两函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ (u - v)' = u' - v' $ | 两函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | 两函数积的导数等于一个导数乘另一个加上另一个导数乘一个 |
| 除法法则（商法则） | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 两函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母的平方 |
四、应用示例
设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，求 $ f'(x) $。
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，$ v'(x) = \cos x $
代入商法则：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
五、结语
“除数求导运算法则”是微积分中的基础内容之一，掌握它有助于更高效地处理复杂函数的导数问题。通过理解其原理与应用场景，并结合实际例子练习，可以加深对这一法则的理解与运用能力。