【常用的等价无穷小公式是什么】在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，常用于极限计算和泰勒展开中。通过等价无穷小替换，可以简化复杂的极限运算，提高解题效率。下面是对常用等价无穷小公式的总结，并以表格形式展示。
一、等价无穷小的基本概念
当 $ x \to 0 $ 时，若两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 满足：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记作 $ f(x) \sim g(x) $。
二、常用的等价无穷小公式（当 $ x \to 0 $ 时）
| 函数表达式 | 等价无穷小 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1+x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ (1+x)^k - 1 $（$ k $ 为常数） | $ kx $ |
| $ \log_a(1+x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
| $ \sinh x $ | $ x $ |
| $ \tanh x $ | $ x $ |
三、使用注意事项
1. 适用范围：上述等价关系通常适用于 $ x \to 0 $ 的情况，若 $ x \to \infty $ 或其他点，则需重新分析。
2. 替换原则：在极限运算中，如果某部分是无穷小，可以用其等价无穷小替换，但要注意整体结构是否允许替换。
3. 高阶无穷小：若某个无穷小比另一个更高阶，如 $ x^2 $ 比 $ x $ 更高阶，则不能随意替换。
四、举例说明
例如，求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
$$
由于 $ \sin x \sim x $，所以可以近似地将 $ \sin x $ 替换为 $ x $，但这样会得到 $ \frac{x - x}{x^3} = 0 $，这是错误的。因此，必须考虑更精确的展开：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
代入后：
$$
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
这说明仅用等价无穷小替换可能不够，有时需要使用泰勒展开来获得更准确的结果。
五、总结
掌握常见的等价无穷小公式有助于快速求解极限问题，但在实际应用中要结合具体情况判断是否适合替换。合理使用这些公式，可以大大提升解题效率和准确性。
如需进一步了解泰勒展开或洛必达法则等内容，可继续深入学习相关章节。