【函数的公式大全】在数学中，函数是描述变量之间关系的重要工具。无论是初等数学还是高等数学，函数都扮演着核心角色。为了方便学习和查阅，以下是对常见函数及其公式的总结，以文字加表格的形式呈现。
一、基本初等函数公式
| 函数类型 | 函数表达式 | 定义域 | 值域 | 特点 |
| 常数函数 | $ f(x) = c $ | $ \mathbb{R} $ | $ \{c\} $ | 图像为水平直线 |
| 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | $ \mathbb{R} $ | $ \mathbb{R} $ | 图像为直线，斜率为a |
| 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | $ \mathbb{R} $ | $ [y_{\text{min}}, +\infty) $ 或 $ (-\infty, y_{\text{max}}] $ | 图像为抛物线 |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ \mathbb{R} $（n为整数） | $ \mathbb{R} $ 或 $ [0, +\infty) $ | 当n为偶数时，图像关于y轴对称 |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ \mathbb{R} $ | $ (0, +\infty) $ | 单调递增或递减 |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ (0, +\infty) $ | $ \mathbb{R} $ | 与指数函数互为反函数 |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin x, \cos x, \tan x $ | 各自不同 | 各自不同 | 周期性函数 |
二、三角函数常用公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本关系 | $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ |
| 倒数关系 | $ \csc x = \frac{1}{\sin x}, \sec x = \frac{1}{\cos x}, \cot x = \frac{1}{\tan x} $ |
| 和角公式 | $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $ $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $ |
| 倍角公式 | $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $ |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
三、导数与积分公式
导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
积分公式：
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
四、高阶函数与特殊函数
| 函数类型 | 表达式 | 应用场景 |
| 反三角函数 | $ \arcsin x, \arccos x, \arctan x $ | 解三角方程、几何问题 |
| 双曲函数 | $ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $, $ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $ | 物理学、工程学 |
| 阶乘函数 | $ n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 $ | 组合数学、概率论 |
| Gamma函数 | $ \Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} dx $ | 数学分析、统计学 |
五、结语
函数是数学中最基础且最重要的概念之一，掌握各类函数的公式有助于理解和解决实际问题。本文从基本初等函数到高阶函数进行了系统整理，便于读者快速查阅和应用。建议在学习过程中结合图形与实例，加深对函数性质的理解。
注： 本文内容为原创总结，适用于学习、教学及参考用途，如需进一步扩展可结合具体应用场景进行深入研究。