【复合函数的求导公式是多少啊】在微积分的学习中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。对于这类函数的求导，我们通常使用“链式法则”（Chain Rule）。下面将对复合函数的求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、复合函数的定义
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，即一个函数的输出作为另一个函数的输入。例如：
- 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
二、复合函数的求导法则
复合函数的求导遵循链式法则，其基本形式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以内层函数对自变量的导数。
三、常见复合函数类型及求导公式
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = f(u) $，$ u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) $ | 链式法则的基本应用 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的复合形式 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的复合形式 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的复合形式 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的复合形式 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的复合形式 |
四、注意事项
1. 顺序不能颠倒：链式法则中，必须先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
2. 多层复合时需多次应用链式法则：例如 $ y = f(g(h(x))) $，则导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
3. 熟练掌握基本初等函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，有助于快速计算复合函数的导数。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的核心内容之一，理解并掌握链式法则对于解决实际问题具有重要意义。通过表格可以一目了然地看到各种常见复合函数的求导方式，便于记忆和应用。在学习过程中，建议多做练习题，逐步提升对复合函数求导的理解和熟练度。