【欧几里得算法】欧几里得算法，又称辗转相除法，是数学中一种古老的求两个整数最大公约数（GCD）的方法。该算法由古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中提出，至今仍是计算机科学和数论中的重要工具。
该算法的基本思想是：用较大的数除以较小的数，然后用余数替换较大的数，重复这一过程，直到余数为零。此时的除数即为两数的最大公约数。
欧几里得算法总结
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 欧几里得算法 / 辗转相除法 |
| 提出者 | 欧几里得（古希腊数学家） |
| 应用领域 | 数论、计算机科学、密码学等 |
| 核心思想 | 用大数除小数，余数替代大数，反复进行，直到余数为0 |
| 目的 | 计算两个整数的最大公约数（GCD） |
| 算法步骤 | 1. 输入两个正整数a和b； 2. 若b=0，则返回a； 3. 否则计算a ÷ b的余数r； 4. 将a设为b，b设为r，重复步骤2； |
| 示例 | 计算gcd(48, 18)： 48 ÷ 18 = 2余12 → gcd(18,12) 18 ÷ 12 = 1余6 → gcd(12,6) 12 ÷ 6 = 2余0 → 返回6 |
实际应用举例
| 输入 | 步骤 | 结果 |
| gcd(48, 18) | 48 ÷ 18 = 2余12 → 18 ÷ 12 = 1余6 → 12 ÷ 6 = 2余0 | 6 |
| gcd(105, 30) | 105 ÷ 30 = 3余15 → 30 ÷ 15 = 2余0 | 15 |
| gcd(7, 13) | 13 ÷ 7 = 1余6 → 7 ÷ 6 = 1余1 → 6 ÷ 1 = 6余0 | 1 |
优缺点分析
| 优点 | 缺点 |
| 简单易实现 | 对于非常大的数字效率可能较低（需优化） |
| 计算速度快 | 需要递归或循环结构 |
| 广泛应用于多种场景 | 不适用于非整数情况 |
通过欧几里得算法，我们可以高效地找到两个整数之间的最大公约数，这在实际编程、数据加密以及数学问题解决中具有重要意义。虽然算法本身简单，但其背后蕴含的数学原理却深远而强大。