【均值不等式公式是哪四个】在数学中，均值不等式是一类非常重要的不等式，广泛应用于代数、分析、优化等多个领域。常见的均值不等式有四个基本类型，它们分别是：算术平均-几何平均不等式（AM-GM）、几何平均-调和平均不等式（GM-HM）、平方平均-算术平均不等式（QM-AM）以及加权均值不等式。
为了更清晰地展示这四个均值不等式的具体内容和关系，下面将通过与表格形式进行说明。
一、
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM）
对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
当且仅当所有数相等时，等号成立。
2. 几何平均-调和平均不等式（GM-HM）
对于任意正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
$$
等号成立的条件是所有数相等。
3. 平方平均-算术平均不等式（QM-AM）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
$$
当且仅当所有数相等时，等号成立。
4. 加权均值不等式
加权均值不等式是对普通均值不等式的推广，适用于不同权重的情况。例如，对于正权重 $ w_1, w_2, \ldots, w_n $ 且 $ \sum w_i = 1 $，有：
$$
\sum_{i=1}^{n} w_i a_i \geq \prod_{i=1}^{n} a_i^{w_i}
$$
这个不等式在概率论、统计学等领域中应用广泛。
二、表格总结
| 均值类型 | 公式表达 | 适用范围 | 等号成立条件 |
| 算术平均 - 几何平均 (AM-GM) | $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ | 非负实数 | 所有数相等 |
| 几何平均 - 调和平均 (GM-HM) | $\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ | 正实数 | 所有数相等 |
| 平方平均 - 算术平均 (QM-AM) | $\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ | 实数 | 所有数相等 |
| 加权均值不等式 | $\sum_{i=1}^{n} w_i a_i \geq \prod_{i=1}^{n} a_i^{w_i}$ | 正实数，权重非负 | 所有数相等 |
以上就是关于“均值不等式公式是哪四个”的详细解答。这些不等式不仅是数学学习中的基础内容，也是解决实际问题的重要工具。