问叉乘运算公式

【叉乘运算公式】在向量代数中，叉乘（Cross Product）是一种在三维空间中对两个向量进行运算的方法，结果是一个与这两个向量都垂直的新向量。叉乘在物理、工程和计算机图形学中有广泛应用，如计算力矩、旋转方向等。

一、叉乘的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，其结果是一个新的向量 c = (c₁, c₂, c₃)，该向量满足以下性质：

- 方向：由右手法则确定，即右手四指从 a 指向 b，拇指指向 c 的方向。

- 大小：等于两个向量所构成的平行四边形面积，即 absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角。

- 垂直性：c 与 a 和 b 都垂直。

二、叉乘的计算公式

叉乘的计算可以通过行列式展开或分量形式来表示。以下是常用的分量计算公式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成分量形式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{pmatrix}

a_2b_3 - a_3b_2 \\

a_3b_1 - a_1b_3 \\

a_1b_2 - a_2b_1 \\

\end{pmatrix}

$$

三、叉乘的性质总结

四、叉乘的应用场景

五、叉乘与点乘的区别

通过以上内容可以看出，叉乘是向量运算中的重要工具，理解其定义、公式和应用有助于更深入地掌握三维几何和物理问题的分析方法。