【几何布朗运动】几何布朗运动（Geometric Brownian Motion，简称GBM）是金融数学中一个非常重要的随机过程模型，广泛应用于股票价格、外汇汇率等金融资产的建模。它是在布朗运动基础上进行指数变换后的结果，能够较好地描述资产价格随时间变化的随机性。
一、概念总结
几何布朗运动是一种连续时间随机过程，其特点是：
- 对数正态分布：在任意时间点上，资产价格的对数值服从正态分布。
- 无记忆性：未来的价格变化只依赖于当前价格，与过去的历史无关。
- 漂移项与波动率：模型包含两个关键参数：漂移率（μ）和波动率（σ），分别代表预期增长率和价格波动幅度。
该模型常用于Black-Scholes期权定价公式中，是现代金融理论的重要基础之一。
二、数学表达式
几何布朗运动的微分方程形式为：
$$
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t
$$
其中：
- $ S_t $：时间 $ t $ 时的资产价格；
- $ \mu $：年化期望收益率（漂移率）；
- $ \sigma $：年化波动率；
- $ W_t $：标准布朗运动（Wiener过程）。
三、主要特点对比
| 特征 | 描述 |
| 随机性 | 由布朗运动驱动，具有随机波动 |
| 对数正态性 | 资产价格的对数服从正态分布 |
| 漂移项 | 表示资产价格的长期增长趋势 |
| 波动率 | 反映资产价格的不确定性或风险程度 |
| 适用范围 | 常用于股票、外汇等金融资产的建模 |
| 局限性 | 不适用于存在跳跃或非连续变动的资产 |
四、实际应用
几何布朗运动在金融领域有以下典型应用：
- 期权定价：如Black-Scholes模型中的核心假设；
- 投资组合管理：用于模拟资产收益分布；
- 风险管理：通过蒙特卡洛模拟评估潜在损失；
- 资产配置：预测未来资产价格路径，辅助决策。
五、局限性
尽管几何布朗运动模型简单且易于使用，但它也存在一些不足：
- 忽略市场跳跃：现实中，资产价格可能因突发事件出现大幅波动；
- 恒定波动率假设：实际中波动率是随时间变化的；
- 不考虑交易成本与税收：模型未涉及现实交易中的复杂因素。
六、总结
几何布朗运动作为一种经典的随机过程模型，在金融工程中占据重要地位。它提供了一种简洁而有效的工具来描述资产价格的随机演化。然而，其假设条件在现实中并不总是成立，因此在实际应用中需要结合其他模型或进行适当修正，以提高预测的准确性与实用性。