【牛顿迭代公式】牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson Method），是一种用于求解非线性方程的数值方法。该方法由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）提出，并在后来由约瑟夫·拉夫森（Joseph Raphson）进行了改进和推广。牛顿迭代法的核心思想是利用函数的泰勒展开式，通过不断逼近的方式求得方程的根。
一、牛顿迭代公式的原理
对于一个连续可导的函数 $ f(x) $，若要求其零点 $ x^ $，即满足 $ f(x^) = 0 $，则牛顿迭代法的基本思路是：
1. 选择一个初始近似值 $ x_0 $；
2. 利用函数在 $ x_n $ 处的切线方程，求出与 x 轴的交点 $ x_{n+1} $；
3. 重复步骤 2，直到达到所需的精度。
其迭代公式为：
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
其中：
- $ x_n $ 是第 n 次迭代的近似值；
- $ f(x_n) $ 是函数在 $ x_n $ 处的值；
- $ f'(x_n) $ 是函数在 $ x_n $ 处的导数值。
二、牛顿迭代法的特点
| 特点 | 描述 |
| 收敛速度快 | 在根附近具有二次收敛速度，比其他一些方法如二分法或割线法更快 |
| 需要导数信息 | 必须知道函数的导数表达式，或者使用数值方法近似导数 |
| 对初始值敏感 | 若初始值选择不当，可能导致不收敛或收敛到错误的根 |
| 可能发散 | 当导数接近于零时，迭代可能不稳定甚至发散 |
| 适用于单变量方程 | 主要用于求解单变量非线性方程，多变量情况需扩展 |
三、应用示例
假设我们想求解方程 $ f(x) = x^2 - 2 = 0 $ 的根，即求 $ \sqrt{2} $。
- 函数：$ f(x) = x^2 - 2 $
- 导数：$ f'(x) = 2x $
选取初始值 $ x_0 = 1.5 $，按照牛顿迭代公式进行计算：
| 迭代次数 | $ x_n $ | $ f(x_n) $ | $ f'(x_n) $ | $ x_{n+1} $ |
| 0 | 1.5 | -0.75 | 3 | 1.4167 |
| 1 | 1.4167 | -0.0083 | 2.8334 | 1.4142 |
| 2 | 1.4142 | ~0 | 2.8284 | 1.4142 |
可以看到，经过两次迭代后，结果已经非常接近 $ \sqrt{2} \approx 1.41421356 $。
四、总结
牛顿迭代法是一种高效且广泛使用的数值方法，尤其适用于需要高精度解的场合。然而，它的成功依赖于合理的初始猜测和函数的可导性。在实际应用中，常结合其他方法（如二分法）来提高鲁棒性。理解其基本原理和适用范围，有助于在工程、物理、计算机科学等领域中更有效地使用这一工具。