【常用的等价无穷小公式是什么】在高等数学中，尤其是在求极限和微分分析中，等价无穷小是一个非常重要的工具。它可以帮助我们简化复杂的极限运算，提高计算效率。下面将总结一些常见的等价无穷小公式，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、等价无穷小的基本概念
当 $ x \to 0 $ 时，若两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 满足
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1,
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记作 $ f(x) \sim g(x) $。
利用等价无穷小替换，可以大大简化极限的计算过程。
二、常用等价无穷小公式（当 $ x \to 0 $ 时）
| 函数 | 等价无穷小 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1+x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ (1+x)^k - 1 $（$ k $ 为常数） | $ kx $ |
| $ \log_a(1+x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
三、使用注意事项
1. 适用范围：这些等价关系通常适用于 $ x \to 0 $ 的情况，若 $ x \to \infty $ 或其他点，则可能不成立。
2. 替换原则：在极限中，如果某个因子是无穷小，可以用其等价无穷小替换，但要注意整体结构是否允许替换。
3. 高阶无穷小：有时需要考虑更高阶的项，特别是在涉及多项式展开或泰勒展开时。
四、举例说明
例1：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
由于 $ \sin x \sim x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.
$$
例2：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
因为 $ e^x - 1 \sim x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.
$$
五、总结
掌握常见的等价无穷小公式，不仅有助于提升解题效率，还能加深对极限本质的理解。在实际应用中，结合具体题目灵活运用这些公式，往往能起到事半功倍的效果。建议多做练习，熟练掌握其使用场景和条件。