【伴随矩阵的定义】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjugate Matrix）是一个重要的概念，尤其在求解逆矩阵和行列式时具有重要作用。伴随矩阵是通过将原矩阵的每个元素替换为其对应的代数余子式后，再进行转置得到的矩阵。它与原矩阵之间存在密切的关系，特别是在计算逆矩阵时，伴随矩阵起到了关键作用。
一、伴随矩阵的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其伴随矩阵记作 $ \text{adj}(A) $ 或 $ A^ $，其定义如下：
- 对于矩阵 $ A $ 中的每一个元素 $ a_{ij} $，计算其对应的代数余子式 $ C_{ij} $。
- 将所有代数余子式按原位置排列成一个矩阵，即为 余子式矩阵。
- 然后对这个余子式矩阵进行转置，得到的就是伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。
数学表达为：
$$
\text{adj}(A) = C^T
$$
其中，$ C = (C_{ij}) $ 是由各元素的代数余子式组成的矩阵。
二、伴随矩阵的性质
| 性质 | 描述 |
| 1. 与逆矩阵的关系 | 若 $ A $ 可逆，则 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $ |
| 2. 与行列式的关系 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I $ |
| 3. 转置性质 | $ \text{adj}(A^T) = (\text{adj}(A))^T $ |
| 4. 乘积性质 | $ \text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A) $（当 $ A, B $ 都可逆时） |
三、伴随矩阵的构造步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1. 计算代数余子式 | 对于每个元素 $ a_{ij} $，计算其代数余子式 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $，其中 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式 |
| 2. 构造余子式矩阵 | 将所有代数余子式 $ C_{ij} $ 按照原矩阵的位置排列，形成一个矩阵 |
| 3. 转置余子式矩阵 | 对余子式矩阵进行转置操作，得到伴随矩阵 |
四、示例说明
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $
1. 计算代数余子式：
- $ C_{11} = +\det\begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} = 4 $
- $ C_{12} = -\det\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} = -3 $
- $ C_{21} = -\det\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} = -2 $
- $ C_{22} = +\det\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} = 1 $
2. 构造余子式矩阵：
$$
C = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
$$
3. 转置得到伴随矩阵：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
$$
五、总结
伴随矩阵是矩阵理论中的一个重要工具，它不仅用于求解逆矩阵，还与行列式、矩阵的转置等性质密切相关。理解伴随矩阵的定义及其构造方法，有助于深入掌握线性代数的基本内容，并在实际问题中灵活运用。