【特征值求特征向量】在矩阵理论中，特征值和特征向量是重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。特征值描述了线性变换的缩放因子，而特征向量则是在该变换下方向保持不变的向量。本文将简要总结如何从一个给定的矩阵中求出其特征值与对应的特征向量。
一、基本概念
- 特征值（Eigenvalue）：设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，若存在非零向量 $ \mathbf{v} $ 和标量 $ \lambda $，使得
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
则称 $ \lambda $ 为矩阵 $ A $ 的一个特征值，$ \mathbf{v} $ 为对应于 $ \lambda $ 的特征向量。
- 特征方程：由 $ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ 可得
$$
(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0
$$
为了有非零解，必须满足 $ \det(A - \lambda I) = 0 $，此式称为特征方程。
二、步骤总结
1. 计算特征多项式：求出 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的表达式。
2. 求解特征方程：解出所有可能的特征值 $ \lambda $。
3. 求解特征向量：对每个特征值 $ \lambda $，解齐次方程组 $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $，得到对应的特征向量。
三、示例说明
以矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
为例，求其特征值与特征向量。
步骤1：计算特征多项式
$$
\det(A - \lambda I) = \det\left( \begin{bmatrix}
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{bmatrix} \right)
= (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3
$$
步骤2：求解特征方程
$$
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
所以，特征值为：
$$
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3
$$
步骤3：求解特征向量
- 对于 $ \lambda_1 = 1 $：
$$
A - \lambda_1 I = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
x + y = 0 \\
x + y = 0
\end{cases}
\Rightarrow x = -y
$$
取 $ y = 1 $，得特征向量为：
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}
-1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
- 对于 $ \lambda_2 = 3 $：
$$
A - \lambda_2 I = \begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
-x + y = 0 \\
x - y = 0
\end{cases}
\Rightarrow x = y
$$
取 $ y = 1 $，得特征向量为：
$$
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
四、总结表格
| 特征值 | 对应特征向量 |
| $ \lambda_1 = 1 $ | $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ |
| $ \lambda_2 = 3 $ | $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ |
五、注意事项
- 特征向量不唯一，只要满足 $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $ 即可。
- 若矩阵有重复特征值，可能需要进一步分析是否能找到足够的线性无关特征向量。
- 实矩阵的复特征值总是成共轭对出现，对应的特征向量也互为共轭。
通过以上步骤，可以系统地求解任意矩阵的特征值与特征向量，为后续的矩阵分析打下基础。