【万有引力定律的应用题】在物理学中，万有引力定律是理解天体运动和地球重力现象的重要基础。该定律由牛顿提出，指出任何两个物体之间都存在相互吸引的力，其大小与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。本文将通过几个典型的应用题，帮助学生更好地掌握万有引力定律的运用，并以总结加表格的形式呈现答案。
一、应用题解析
题目1：
已知地球的质量为 $ M = 5.98 \times 10^{24} \, \text{kg} $，半径为 $ R = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} $，求地表处的重力加速度 $ g $。
解题思路：
根据万有引力定律，地表处的重力可以看作是地球对物体的引力，即：
$$
g = \frac{GM}{R^2}
$$
其中 $ G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 $。
代入数值计算得：
$$
g = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.98 \times 10^{24})}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2
$$
题目2：
一个卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为 $ r = 7.0 \times 10^6 \, \text{m} $，求其运行周期 $ T $。
解题思路：
卫星的向心力由地球的引力提供，因此：
$$
\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}
$$
又因为 $ v = \frac{2\pi r}{T} $，代入后可得：
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}
$$
代入数据计算得：
$$
T \approx 5.7 \times 10^3 \, \text{s} \approx 1.6 \, \text{小时}
$$
题目3：
两颗质量分别为 $ m_1 = 2 \times 10^5 \, \text{kg} $ 和 $ m_2 = 3 \times 10^5 \, \text{kg} $ 的物体相距 $ d = 10 \, \text{m} $，求它们之间的引力大小。
解题思路：
直接使用万有引力公式：
$$
F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}
$$
代入数据得：
$$
F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(2 \times 10^5)(3 \times 10^5)}{10^2} \approx 4.0 \times 10^{-6} \, \text{N}
$$
二、总结与表格
| 题号 | 问题描述 | 公式 | 计算结果 | 单位 |
| 1 | 地表重力加速度 | $ g = \frac{GM}{R^2} $ | 9.8 | m/s² |
| 2 | 卫星运行周期 | $ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $ | 5.7×10³ | s |
| 3 | 两物体间的引力 | $ F = \frac{G m_1 m_2}{d^2} $ | 4.0×10⁻⁶ | N |
通过以上题目可以看出，万有引力定律不仅用于解释地球表面的重力现象，还广泛应用于航天器轨道计算和天体之间的相互作用分析。掌握这些基本公式的应用，有助于进一步理解宇宙中的力学规律。