点到直线的距离公式推导

点到直线的距离公式是解析几何中的重要工具，用于计算平面内一点到一条直线的最短距离。这一公式的推导基于向量和几何的基本原理，逻辑严谨且实用性强。

假设平面上有一条直线 \(L\) 的方程为 \(Ax + By + C = 0\)，其中 \(A, B, C\) 是常数且 \(A^2 + B^2 \neq 0\)，以及一个固定点 \(P(x_1, y_1)\)。我们的目标是求出点 \(P\) 到直线 \(L\) 的距离。

首先，我们注意到直线 \(L\) 的法向量可以表示为 \(\vec{n} = (A, B)\)，这是因为直线的方向向量为 \((B, -A)\)，而法向量与方向向量垂直。因此，点 \(P\) 到直线 \(L\) 的距离即为点 \(P\) 在法向量方向上的投影长度。

接下来，设点 \(Q(x_0, y_0)\) 是直线 \(L\) 上任意一点，则满足 \(Ax_0 + By_0 + C = 0\)。向量 \(\overrightarrow{PQ}\) 的坐标为 \((x_0 - x_1, y_0 - y_1)\)。根据向量的点积性质，\(\overrightarrow{PQ}\) 在法向量 \(\vec{n}\) 方向上的投影长度为：

\[

d = \frac{|(x_0 - x_1)A + (y_0 - y_1)B|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

\]

由于 \(Q\) 是直线上的一点，所以 \(Ax_0 + By_0 = -C\)。将此关系代入上式，可得：

\[

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

\]

这就是点到直线的距离公式。

该公式的优点在于其形式简洁明了，适用于所有直线（包括水平线和竖直线）。在实际应用中，它可以用来解决诸如机器人路径规划、计算机图形学等领域的问题。例如，在机器人避障问题中，通过计算机器人当前位置到障碍物所在直线的距离，可以判断是否需要调整路径。

总之，点到直线的距离公式不仅理论意义重大，而且在工程和技术领域具有广泛的应用价值。通过对公式的深入理解，我们可以更高效地解决相关问题，从而推动科学技术的发展。

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