证明平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和（证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和）

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1、方法一：利用余弦定理。

2、在平行四边形ABCD中，有：AB＝DC、AD＝BC、∠A＝180°－∠B，∴cosA＝－cosB。

3、由余弦定理，有：AC^2＝AB^2＋BC^2－2AB×BC×cosB，······①BD^2＝AD^2＋AB^2－2AD×AB×cosA＝AD^2＋DC^2＋2BC×AB×cosA。

4、······②①＋②，得：AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

5、方法二：利用向量点积。

6、在平行四边形ABCD中，有：向量AC＝向量AB＋向量AD，向量BD＝向量BA＋向量BC＝－向量AB＋向量AD。

7、∴｜AC｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋2向量AB·向量AD，······③　｜BD｜^2＝｜AD｜^2＋｜AB｜^2－2向量AD·向量AD。

8、······④③＋④，得：｜AC｜^2＋｜BD｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋｜AD｜^2＋｜AB｜^2。

9、显然有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

10、方法三：利用勾股定理。

11、不失一般性，假设平行四边形ABCD中，∠A为锐角。

12、分别过A、B向DC引垂线，垂足分别为E、F。

13、容易得出：AE＝BF、ED＝FC，∴EC＝ED＋DC＝FC＋DC、DF＝DC－FC。

14、由勾股定理，有：AC^2＝AE^2＋EC^2、BD^2＝BF^2＋DF^2，两式相加，得：AC^2＋BD^2＝2BF^2＋（FC＋DC）^2＋（DC－FC）^2＝2BF^2＋2FC^2＋2DC^2。

15、再由勾股定理，有：BF^2＋FC^2＝BC^2，∴AC^2＋BD^2＝2BC^2＋2DC^2。

16、明显有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

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