【切平面方程怎么求】在三维几何中，切平面是与某个曲面在某一点处相切的平面。求解切平面方程是解析几何中的一个常见问题，尤其在微积分和工程数学中应用广泛。本文将总结求解切平面方程的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的步骤。
一、切平面方程的定义
设有一个光滑曲面 $ S $，在点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 处存在一个切平面，该平面与曲面在该点处“相切”，即在该点附近，曲面与平面非常接近。切平面的方程可以表示为：
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$
其中，$ (A, B, C) $ 是该平面的法向量。
二、求解切平面方程的方法总结
| 情况 | 曲面表达式 | 法向量计算方式 | 切平面方程 | 说明 |
| 1 | 显式函数 $ z = f(x, y) $ | $ \vec{n} = (-f_x, -f_y, 1) $ | $ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $ | 其中 $ f_x, f_y $ 是偏导数 |
| 2 | 隐式函数 $ F(x, y, z) = 0 $ | $ \vec{n} = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}) $ | $ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 $ | 使用梯度向量作为法向量 |
| 3 | 参数方程 $ \vec{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) $ | $ \vec{n} = \vec{r}_u \times \vec{r}_v $ | $ \vec{n} \cdot ( \vec{r} - \vec{r}_0 ) = 0 $ | 通过两个方向导数的叉积得到法向量 |
三、典型例题分析
例1：显式函数
给定曲面 $ z = x^2 + y^2 $，求在点 $ (1, 1, 2) $ 处的切平面方程。
- 计算偏导数：
$$
f_x = 2x,\quad f_y = 2y
$$
- 在点 $ (1, 1) $ 处：
$$
f_x = 2,\quad f_y = 2
$$
- 切平面方程为：
$$
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
\Rightarrow z = 2x + 2y - 2
$$
例2：隐式函数
给定曲面 $ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $，求在点 $ (1, 2, 2) $ 处的切平面方程。
- 函数为 $ F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 9 $
- 计算偏导数：
$$
F_x = 2x,\quad F_y = 2y,\quad F_z = 2z
$$
- 在点 $ (1, 2, 2) $ 处：
$$
F_x = 2,\quad F_y = 4,\quad F_z = 4
$$
- 切平面方程为：
$$
2(x - 1) + 4(y - 2) + 4(z - 2) = 0
\Rightarrow 2x + 4y + 4z = 18
\Rightarrow x + 2y + 2z = 9
$$
四、注意事项
- 确保点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 在曲面上；
- 对于参数方程，注意计算方向导数时的顺序；
- 切平面仅在该点处与曲面相切，不适用于整个曲面；
- 若曲面在某点不可微或有尖点，则无法求出唯一的切平面。
五、总结
求解切平面方程的核心在于找到该点处的法向量。根据不同的曲面表示方式（显式、隐式、参数式），选择合适的计算方法即可。掌握这些方法有助于深入理解三维几何中曲面的局部性质，并在实际问题中灵活运用。