【切割线定理怎么证明】在几何学中，切割线定理（也称为切线长定理）是圆与直线之间关系的重要结论之一。该定理主要描述了从圆外一点向圆作两条切线时，这两条切线的长度相等。
一、定理
切割线定理：
如果从圆外一点 $ P $ 向圆引两条切线，分别与圆相切于点 $ A $ 和点 $ B $，那么这两条切线的长度相等，即 $ PA = PB $。
二、定理证明过程
证明思路如下：
1. 构造图形：设圆心为 $ O $，点 $ P $ 在圆外，$ PA $ 和 $ PB $ 是从 $ P $ 到圆的两条切线，分别切圆于点 $ A $ 和点 $ B $。
2. 连接线段：连接 $ OA $、$ OB $、$ OP $。
3. 利用切线性质：根据切线的定义，$ PA \perp OA $，$ PB \perp OB $。
4. 构造三角形：考虑三角形 $ \triangle OAP $ 和 $ \triangle OBP $。
5. 证明全等：
- $ OA = OB $（都是半径）
- $ OP $ 是公共边
- $ \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ $
- 所以 $ \triangle OAP \cong \triangle OBP $（直角三角形全等判定：HL）
6. 得出结论：因为两个三角形全等，所以对应边相等，即 $ PA = PB $。
三、表格对比总结
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 切割线定理 / 切线长定理 |
| 基本条件 | 点 $ P $ 在圆外，$ PA $、$ PB $ 为切线，切点分别为 $ A $、$ B $ |
| 核心结论 | $ PA = PB $ |
| 证明方法 | 构造全等三角形（HL） |
| 关键步骤 | 连接半径、利用垂直关系、证明三角形全等 |
| 应用领域 | 几何证明、圆的相关计算 |
四、小结
切割线定理是圆几何中的一个基本定理，其证明过程体现了几何中对称性和全等三角形的应用。理解该定理不仅有助于掌握圆的基本性质，也为后续学习圆幂定理、圆与直线的位置关系等内容打下基础。